chọn đúng sai
cho a,b là hai số thực dương tùy ý
a) \(\log_2a=\log_2b.\log_ba\)
b)\(\log_a\sqrt{a}=\log_{b^2}b\)
Giả sử a, b là các số dương thỏa a2 + b2 = 7ab. Chứng minh \(2\log_2\left(\dfrac{a+b}{3}\right)=\log_2a+\log_2b\)
\(a^2+b^2=7ab\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab=9ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=9ab\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)^2}{9}=ab\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{a+b}{3}\right)^2=ab\)
Lấy logarit cơ số 2 hai vế:
\(log_2\left(\dfrac{a+b}{3}\right)^2=log\left(ab\right)\)
\(\Leftrightarrow2log_2\left(\dfrac{a+b}{3}\right)=log_2a+log_2b\)
rút gọn các biểu thức
a) \(log_{a^4}b^4.log_ba^5\)
b) \(log_{a^3}b^2.log_ba^4\)
c) \(log_{a^{15}}b^7.log_{b^{49}}a^{30}\)
d) \(log_{a^{2021}}b^{2020}.log_{b^{4040}}a^{6063}\)
\(log_{a^4}b^4.log_ba^5=\dfrac{1}{4}.4.log_ab.5.log_ba=5.log_ab.log_ba=5\)
\(log_{a^3}b^2.log_ba^4=\dfrac{1}{3}.2.log_ab.4.log_ba=\dfrac{8}{3}.log_ab.log_ba=\dfrac{8}{3}\)
\(log_{a^{15}}b^7.log_{b^{49}}a^{30}=\dfrac{1}{15}.7.log_ab.\dfrac{1}{49}.30.log_ba=\dfrac{2}{7}log_ab.log_ba=\dfrac{2}{7}\)
\(log_{a^{2021}}b^{2020}.log_{b^{4040}}a^{6063}=\dfrac{1}{2021}.2020.log_ab.\dfrac{1}{4040}.6063.log_ba=\dfrac{3}{2}\)
Xét các số thực a, b thỏa mãn \(\dfrac{1}{4}< b< a< 1\). Biểu thức \(P=\log_a\left(b-\dfrac{1}{4}\right)-\log_{\dfrac{a}{b}}\sqrt{b}\) đạt giá trị nhỏ nhất khi ?
Ta có:
\(\left(b-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\) <=> \(b^2-b+\dfrac{1}{4}\ge0\) <=>\(b-\dfrac{1}{4}\le b^2\)
Mà :
a<1 => \(log_a\left(b-\dfrac{1}{4}\right)\ge log_ab^2=2log_ab\)
P=\(log_a\left(b-\dfrac{1}{4}\right)-\dfrac{1}{2}log_{\dfrac{a}{b}}b=log_a\left(b-\dfrac{1}{4}\right)-\dfrac{1}{2}.\dfrac{log_ab}{1-log_ab}\ge2log_ab-\dfrac{1}{2}.\dfrac{log_ab}{1-log_ab}\)
Đặt t=logab
Do b<a<1 => t=logab >1
Khi đó \(P\ge2t+\dfrac{t}{2t-2}=f\left(t\right)\). Khảo sát f(t) trên (1;+\(\infty\)) ta đc
P\(\ge\)f(t) \(\ge\) f\(\left(\dfrac{3}{2}\right)\) = \(\dfrac{9}{2}\)
cho hai số thực a,b thỏa mãn 0<a<b<1 và biểu thức P=\(\log_{\frac{a}{b}}\sqrt{a}-4lo\log_a\left(a+\frac{b}{4}\right)\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính S=a+b
cho hai số thực a,b thỏa mãn 0<a<b<1 và biểu thức P=\(\log_{\frac{a}{b}}\sqrt{a}-4\log_a\left(a+\frac{b}{4}\right)\)đạt giá trị nhỏ nhất . Tính S=a+b
\(P=\frac{1}{2}log_{\frac{a}{b}}a-4log_a\left(a+\frac{b}{4}\right)=\frac{1}{2log_a\frac{a}{b}}-4log_a\left(a+\frac{b}{4}\right)=\frac{1}{2\left(1-log_ab\right)}-4log_a\left(a+\frac{b}{4}\right)\)
Ta có: \(a+\frac{b}{4}\ge2\sqrt{\frac{ab}{4}}=\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow log_a\left(a+\frac{b}{4}\right)\le log_a\sqrt{ab}\) (do \(0< a< 1\))
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{2\left(1-log_ab\right)}-4log_a\sqrt{ab}=\frac{1}{2\left(1-log_ab\right)}-2\left(1+log_ab\right)\)
Đặt \(log_ab=x\Rightarrow0< x< 1\) \(\Rightarrow P\ge\frac{1}{2\left(1-x\right)}-2\left(1+x\right)\)
Xét hàm \(f\left(x\right)=\frac{1}{2\left(1-x\right)}-2\left(1+x\right)\) với \(0< x< 1\)
\(f'\left(x\right)=\frac{1}{2\left(1-x\right)^2}-2=0\Leftrightarrow\frac{1-4\left(1-x\right)^2}{2\left(1-x\right)^2}=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}\)
Từ BBT ta thấy \(f\left(x\right)_{min}=f\left(\frac{1}{2}\right)=-2\)
\(\Rightarrow P\ge-2\Rightarrow P_{min}=-2\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{1}{2}\\a=\frac{b}{4}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}log_ab=\frac{1}{2}\\a=\frac{b}{4}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b^2\\a=\frac{b}{4}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{1}{16}\\b=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow S=\frac{5}{16}\)
Câu 1 : Cho a là số thực dương tùy ý khác 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. \(\log_2\)a = \(\dfrac{1}{\log_{ }a2}\) B. \(\log_2a\) = \(\log_{a2}\) C.\(\log_2a\) = - \(\log_a2\) D. \(\log_2a\) = \(\dfrac{1}{\log_{ }2a}\)
Bạn nào đúng jup mình, mình tick cho
Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn \(\log_ab=2\). Tính giá trị của \(P=\log_{\dfrac{\sqrt{a}}{b}}\left(a.\sqrt[3]{b}\right)\)
\(P=log_{\dfrac{\sqrt{a}}{b}}a+log_{\dfrac{\sqrt{a}}{b}}\sqrt[3]{b}=log_{\dfrac{\sqrt{a}}{b}}a+\dfrac{1}{3}log_{\dfrac{\sqrt{a}}{b}}b\)
\(=\dfrac{1}{log_a\dfrac{\sqrt{a}}{b}}+\dfrac{1}{3.log_b\dfrac{\sqrt{a}}{b}}=\dfrac{1}{log_a\sqrt{a}-log_ab}+\dfrac{1}{3\left(log_b\sqrt{a}-log_bb\right)}\)
\(=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}-2}+\dfrac{1}{3\left(\dfrac{1}{4}-1\right)}=-\dfrac{10}{9}\)
Cho a,b là các số thực dương và \(a\ne1\), thỏa mãn \(\log_{a^2}\left(\dfrac{a^3}{\sqrt[5]{b^3}}\right)=3\). Giá trị của \(\log_ab=?\)
\(log_{a^2}\left(\dfrac{a^3}{\sqrt[5]{b^3}}\right)=\dfrac{1}{2}log_a\left(\dfrac{a^3}{\sqrt[5]{b^3}}\right)=\dfrac{1}{2}\left[log_aa^3-log_a\sqrt[5]{b^3}\right]=\dfrac{1}{2}\left(3-\dfrac{3}{5}log_ab\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}\left(3-\dfrac{3}{5}log_ab\right)=3\)
\(\Rightarrow log_ab=-5\)
Cho a, b là hai số thực dương tùy ý và b ≠ 1 . Tìm kết luận đúng.
A. ln a + ln b = ln a + b
B. ln a + b = ln a . ln b
C. ln a − ln b = ln a − b
D. log b a = ln a ln b
Chọn D.
Phương pháp:
Sử dụng tính chất của logarit nhận xét tính đúng sai của từng đáp án.
Cách giải:
Rút gọn biểu thức sau :
\(A=\left(\log_ab+\log_ba+2\right)\left(\log_ab-\log_{ab}b\right)\log_ba-1\)
\(B=\left(\log b_a+\log_ba+2\right)\left(\log b_a-\log b_{ab}\right)-1=\left(\log b_a+\frac{1}{\log b_a}+2\right)\left(\log b_a.\log_ba-\left(\log_{ab}b.\log_ba\right)\right)-1\)
\(=\frac{\log^2_ab+2\log_ab+1}{\log_ab}\left(1-\log_{ab}a\right)-1=\frac{\left(\log_ab+1\right)^2}{\log_ab}\left(1-\frac{1}{\log_aab}\right)-1\)
\(=\frac{\left(\log_ab+1\right)^2}{\log_ab}\left(1-\frac{1}{1+\log_ab}\right)-1=\frac{\left(\log_ab+1\right)^2}{\log_ab}.\frac{\log_ab}{1+\log_ab}-1=\log_ab+1-1=\log_ab\)